这个女人作弊，没有收入来源。她提出了离婚。

能否给奖励需视情况，出轨可能影响抚养权判断。《婚姻法》规定，抚养权处理需考虑孩子健康成长，出轨若严重且长期，可能影响法官对出轨方抚养能力的判断，对孩子成长不利。
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视情况定奖励与抚养权。1.若女方出轨行为不严重，双方可协商抚养权及奖励问题，达成一致即可。2.若女方出轨行为严重且长期，男方需收集证据，通过诉讼争取抚养权，法院将综合考虑孩子利益判决。3.无论何种情况，都应以孩子健康成长为首要考虑，确保孩子得到最佳抚养环境。
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处理抚养权需协商或诉讼，视双方情况选择。若双方能友好协商，可达成抚养协议；若协商不成，则需通过诉讼解决，法院将依据孩子最佳利益原则判决。